Александр Андреевич Баранов родился 4 декабря 1747 года в Каргополе Санкт-Петербургской губернии Российской империи. Он был сыном Андрея Баранова, купца из низшего сословия или мещанина. Обучался Саша на дому, а в возрасте пятнадцати лет – сбежал из дома и уехал в Москву, где некоторое время трудился писарем, прежде чем вернуться домой.